Μαθηματική Αφαίρεση και Γενίκευση

(Από την Εισαγωγή ...)

​

Στο νέο πρόγραμμα σπουδών εισάγεται ο όρος που φέρει το όνομα Μεγάλες Ιδέες των Μαθηματικών. Πίσω από τον όρο αυτό οι συγγραφείς αναγνωρίζουν: τη Μαθηματική δομή, τη Γενίκευση, τη Μεταβολή (κυρίως σαν τομέας της 'Aλγεβρας και Γεωμετρίας), την Ισοδυναμία ('Aλγεβρα και Μαθηματική Λογική), την Απόδειξη (κυρίως μέσα από τη Γεωμετρία), τους Μετασχηματισμούς (πρόγραμμα Klein εισαγωγή στην 'Aλγεβρα) και τη Προσέγγιση - Σύγκλιση (το συνώνυμο της Ανάλυσης).

​

Η Μαθηματική Αφαίρεση και Γενίκευση αποτελούν από μόνες τους δύο χαρακτηριστικά της Μαθηματικής διαδικασίας που διαμορφώνουν τον νου και την Μαθηματική έρευνα. Δεν θα ασχοληθούμε με τη διδακτική διαδικασία και τη γνωσιολογική διάσταση πρόσληψης των εννοιών. Φαίνεται  μάλιστα ότι δεν προτίθεται κανείς να ασχοληθεί με αυτό στα Μαθηματικά του Λυκείου, για να ακριβολογούμε. Προτείνω να κάνουμε όμως μια προσπάθεια προσέγγισης αναλύοντας ένα αυθεντικό παράδειγμα από την Μαθηματική Επιστήμη. 

​

Η Γενίκευση είναι μια μορφή της Μαθηματικής Αφαίρεσης όπου κοινές ιδιότητες διατυπώνονται σαν γενικές έννοιες ή ισχυρισμοί.

Τι είναι όμως η Μαθηματική Αφαίρεση? Τι λέει η Wikipedia:
 

Η αφαίρεση στα μαθηματικά είναι η διαδικασία εξαγωγής των υποκείμενων δομών, μοτίβων ή ιδιοτήτων μιας μαθηματικής έννοιας, αφαιρώντας κάθε εξάρτηση από αντικείμενα του πραγματικού κόσμου με τα οποία θα μπορούσε αρχικά να είχε συνδεθεί και γενίκευoντάς την να έχει ευρύτερες εφαρμογές ή να ταιριάζει μεταξύ άλλων αφηρημένων περιγραφών ισοδύναμων φαινομένων.

​

Προτείνουμε σαν παράδειγμα την 'Aλγεβρική Γεωμετρία για δύο λόγους: η εξελικτική της πορεία αναδεικνύει ανάγλυφα τη διαδιακασία της Αφαίρεσης και της Γενίκευσης και δεύτερον μπορούμε να βρούμε αυθεντικά παραδείγματα στα Μαθηματικά του Λυκείου χωρίς εκπτώσεις.  Τέλος, είναι ένας κλάδος των Μαθηματικών που είναι ολόκληρος δομημένος πάνω στην αφαιρετική διαδικασία και ο οποίος είναι ακόμα σε εξέλιξη αφού δίνει ακόμα αποτελέσματα. 

​

Εδώ θα πρέπει να προσθέσουμε ότι ο όρος Αφαίρεση (το ίδιο ισχύει και για τον όρο Γενίκευση) δεν υποδηλώνει μια ενιαία διαδικασία αλλά μια γενική διαδικασία μέσα στην οποία διασταυρώνονται διάφορες διαδικασίες που χρησιμοποιούνται διαδοχικά ή ταυτόχρονα. 

​

Ας αναφέρουμε μερικά παραδείγματα Αφαίρεσης και η Γενίκευσης:
 

1. Tο πολύγωνο είναι μια γενίκευση του τριγώνου, ο διωνυμικός τύπος (1+x)^n, τα ελλειψοειδή, παραβολοειδή κλπ είναι γενικεύσεις των κωνικών τομών, οι γενικεύσεις του  εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων και συναρτήσεων στην Ανάλυση Fourier, το μέτρο στη Θεωρία Πιθανοτήτων σαν γενίκευση του μέτρου ενός διαστήματος, κ.ο.κ. 

2. Η έννοια του Τοπολογικού χώρου είναι ένα παράδειγμα της μαθηματικής αφαίρεσης.

3. H ταξινόμηση των τετραπλεύρων στο Buldungsplan fur  Realschule της Γερμανίας, είναι ένα παράδειγμα γενίκευσης που προέκυψε από αφαίρεση πάνω στις γεωμετρικές ιδιότητες των τετραπλέυρων.

4. Η αναπαράσταση ακολουθιών από αναδρομικούς ή αναλυτικούς τύπους. Είναι επίσης ένα παράδειγμα γενίκευσης.

5. Η μετρική συνάρτηση f πάνω σε ένα σύνολο X, είναι μια αφαίρεση του μέτρου μεταξύ δύο σημείων με την πυθαγόρεια σημασία. 

6. Γενικεύοντας τις συνήθεις πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών, σχηματίζουμε γενικευμένες μαθηματικές δομές (ομάδες, σώματα, ιδεώδη, κλπ).  

7. Η ταξινόμηση μαθηματικών αντικειμένων είναι ένα παράδειγμα αφαίρεσης. Με την ταξινόμηση οδηγούμε ένα σύνολο σε κλάσεις ισοδυναμίας. Δείτε για παράδειγμα το θεώρημα Weddeburn (1908), που  ενοποιεί το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το σύνολο των μιγαδικών, τα τεταρτοδόνια, και τους τετραγωνικούς πίνακες σε μία εννιαία δομή. Ένα άλλο γνωστό θεώρημα είναι το θεώρημα ταξινόμησης των αβελιανών ομάδων σε τέσσερες κλάσεις (κυκλικές ομάδες, εναλλακτικές ομάδες,   κλασικές ομάδες Lie, απλές σποραδικές ομάδες).  Υπάρχουν όμως παραδείγματα όπου η ταξινόμηση είναι αντίθετη της αφαίρεσης, δείτε Gowers Timothy eds, 2008:  The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, (Κάθε πεπερασμένης διάστασης πραγματικός διανυσματικός χώρος είναι ισόμορφος με το R^n, για κάποιο n\in N).

8. H αφαίρεση σαν διαδικασία που απομονώνει τις εγγενείς ή αμετάβλητες ιδιότητες αντικειμένων  και μελετάει την αντίδραση ενός αντικειμένου στους μετασχηματισμούς. Κλασική περίπτωση είναι η εργασία πάνω στη γεωμετρία του Klein. Ένα άλλο παράδειγμα είναι ο νόμος της αδράνειας του Sylvester: κάποιες ιδιότητες του πίνακα των συντελεστών μιας πραγματικής τετραγωνικής μορφής (ομογενή πολυώνυμα) παραμένουν αμετάβλητες κατά την αλλαγή συντεταγμένων.
   Επίσης, το θεώρημα του Hilbert, όπου κάθε αλγεβρικό σύνολο πάνω σε ένα αλγεβρικώς κλειστό σώμα μπορεί να ταυτισθεί με τις κοινές ρίζες ενός πεπερασμένου αριθμού πολυωνυμικών εξισώσεων, με το οποίο θα ασχοληθούμε στη συνέχεια. 

Η Αλγεβρική Γεωμετρία είναι η θεωρία που γεφυρώνει δύο κλάδους των μαθηματικών, όπως λέει άλλωστε το όνομά της. Το θεώρημα που δίνει αυτή τη σχέση είναι το Nullstellensatz του Hilbert.  Το αποτέλεσμα αυτό είναι προϊόν  συνεχούς Αφαίρεσης/Γενίκευσης των υποκείμενων εννοιών που φυσικά δεν σταματά εκεί. Η Αλγεβρική Γεωμετρία από τον Weil έως τον Scholze είναι ένα υπόδειγμα μιας εσχατολογικής Μαθηματικής Αφαίρεσης και Γενίκευσης. 

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Στη συνέχεια θα δώσουμε μια σειρά παραδειγμάτων μέσα από την ύλη των Μαθηματικών τoυ Λυκείου για να τονίσουμε το πως η Αφαίρεση/Γενίκευση αλλάζει τα εργαλεία της αποδεικτικής διαδικασίας. Ισχυριζόμαστε δε ότι η Μαθηματική δυϊκή διεργασία της Αφαίρεσης/Γενίκευσης αναδεικνύει συχνά ένα αθέατο μαθηματικό υλικό. Στο δεύτερο μέρος θα ασχοληθούμε με δύο παραδείγματα Γενίκευσης στα Μαθηματικά. Κάθε κλάδος των μαθηματικών  έχει τις δικές του ιδιόμορφες και κατάλληλες μεθόδους. Ο Whitehead έγραφε σχετικά:

Κάθε μαθηματικός κλάδος δημιουργεί τις δικές του εφαρμογές: έτσι η Αναλυτική Γεωμετρία είναι διαφορετικός κλάδος από τη Συνθετική Γεωμετρία και οι αυτοί κλάδοι διαφέρουν από την Προβολική Γεωμετρία. Πολλές προτάσεις είναι κοινές στους τρείς κλάδους ...   Αλλά θα ήταν σοβαρό λάθος για την ανάπτυξη  της επιστήμης να πάρω μια λίστα προτάσεων όπως εμφανίζονται σε κάποιους κλάδους και να προσπαθήσω να τις αποδείξω με μεθόδους των υπολοίπων. Μερικές προτάσεις θα μπορούσαν να αποδειχθούν με μεγάλη δυσκολία, κάποιες άλλες δεν θα μπορούσαν να δηλωθούν στην τεχνική γλώσσα ή τον συμβολισμό ενός κλάδου.

​

Στο πρώτο παράδειγμα θα δούμε του λόγου το αληθές της ρήσης του Whitehead με ένα  γνωστό  θεώρημα, το θεώρημα της Πεταλούδας. Το θεώρημα αυτό ανήκει στη Προβολική Γεωμετρία αλλά  συνηθίζουμε να το  αποδεικνύουμε με Ευκλείδεια Γεωμετρία. Στη συνέχεια, θα δούμε τη  ταξινόμηση τετραπλεύρων που βρίσκεται στην βάση της φιλοσοφίας του Buldungsplan fur  Realschule της Γερμανίας (Πρόκειται για το Πρόγραμμα Εκπαίδευσης του Γυμνασίου. Το πρόγραμμα αυτό έχει επηρεασθεί από το Erlangen Program του Felix Klein).

​

Λυγάτσικας Ζήνων

Μάϊος 2023