Διαγράμματα Voronoi
Διαγράμματα Voronoi: Ένα διάγραμμα Voronoi είναι μια δομή που συναντάμε πολύ συχνά στην φύση. Δείτε για παράδειγμα το δέρμα της καμηλοπάρδαλης ή στο κέλυφος μιας χελώνας!
Η δομή των διαγραμμάτων αυτών είχε χρησιμοποιηθεί πολλές φορές πριν από τον Voronoi. Ο Descartes για παράδειγμα τα χρησιμοποιούσε από το 1644 και ο φυσικός J. Snow τα χρησιμοποίησε το 1855 για να αποδείξει ότι η πλειονότητα των κατοίκωντου Soho που προσβλήθηκαν από την επιδημία της χολέρας κατοικούσανπλησίον του πηγαδιού στην Brοad Street. Σήμερα, θα βρούμε την ΑΟΖ μιας χώρας, με τη βοήθεια των διαγραμμάτων.
Για όλες τις τάξεις Γυμνασίου & Λυκείου
To αρχείο με εργασία στο mascil:
Εργασία της Κ. Καρπούζη "STEM STARS 2021":
Εικασία Collatz
Η εικασία Collatz είναι μια μαθηματική εικασία η οποία αφορά τον κλάδο της Θεωρίας Αριθμών. Αν και κυκλοφορούσε στους μαθηματικούς κύκλους από τις αρχές του 20ου αιώνα, διατυπώθηκε για πρώτη φορά επισήμως από τον μαθηματικό Lothar Collatz το 1937. Εξ αιτίας του ότι μελετήθηκε με μεγάλο ενδιαφέρον από αρκετούς μαθηματικούς της εποχής μας (ήταν τότε ένα από τα πιο διάσημα μαθηματικά προβλήματα). Η εικασία Collatz έχει και άλλες ονομασίες, όπως εικασία Ulam (από τον μαθηματικό Stanislaw Ulam) και εικασία Kakutani (από τον μαθηματικό Shizuo Kakutani).
Για όλες τις τάξεις Λυκείου
Οδηγίες
Το αρχείο του EXCEL που έχει τους αλγορίθμους
Εργασίες από μαθητές:
1) Εικασία Collatz (Γιασαφάκης Α. 2017)
2) Collatz Conjecture (Βρόντος et alii 2023)
To fractal της εικασίας στην python και το πρόγραμμα στη python
Chaos Game Representation
Η εξέλιξη της επιστήμης της γενετικής απαιτεί τη χρήση των νέων εργαλείων. Υπάρχει ένας πλούτος πληροφοριών που περιέχονται σε μια αλληλουχία DNA που πρέπει να αναπαρασταθεί και να αναλυθεί με στόχο να γίνει αντιληπτή ή όχι η ύπαρξη μοτίβων που θα διαφοροποιήσουν και θα ταξινομήσουν τις αλληλουχίες αυτές. Το μοντέλο CGR (Chaos Game Representation) είναι ένα από τα νέα εργαλεία που χρησιμοποιούνται στην έρευνα.
Το DNA είναι μια αλληλουχία νουκλεοτιδίων, που διαφέρουν ως προς τις αζωτούχες βάσεις. Αυτές είναι η θυμίνη (Τ), η αδενίνη (Α), η κυτοσίνη (C) και η γουανίνη (G). Πολλές ασθένειες που εμφανίζει ο ανθρώπινος οργανισμός πηγάζουν από ανωμαλίες σε αυτή την αλληλουχία. Για παράδειγμα, στην νόσο του Huntington ενοχοποιείται η συνεχής επανάληψη της τριπλέτας νουκλεοτιδίων CAG. Γενικότερα, στις μέρες μας, μόνο τα πρότυπα των επαναλήψεων CAG, CCG, CGG, CTG και GAA έχουν εμπλακεί στην αιτιολογία πολλών γενετικών παθήσεων, ειδικά νευρολογικών.
Από την άλλη πλευρά, η επιστήμη των μαθηματικών μπορεί να συσχετιστεί με την γενετική με την βοήθεια της θεωρίας του Χάους. Πρόκειται για τη θεωρία που ασχολείται με τη συγκέντρωση αποτελεσμάτων, μεθόδων και οπτικών τεχνικών που χρησιμοποιούνται για την μελέτη δυναμικών συστημάτων. Τα ''φράκταλ'', που είναι μια κατηγορία της προαναφερθείσας θεωρίας, είναι γεωμετρικά σχήματα που επαναλαμβάνονται και μπορεί να προκύψουν από επανάληψη ενός μοτίβου γενικότερα.
Στη συγκεκριμένη εργασία, με τη βοήθεια του EXCEL, θα αξιοποιήσουμε τη θεωρία του Chaos, και συγκεκριμένα τα ''φράκταλ'', προκειμένου να αναπαραστήσουμε τις επαναλήψεις συγκεκριμένων αλληλουχιών νουκλεοτιδίων ποικίλων ασθενειών.
Ειδικότερα, θα μελετήσουμε την μυοτονική δυστροφία, έναν από τους 9 τύπους μυϊκής δυστροφίας, που είναι μια ομάδα γενετικών και εκφυλιστικών ασθενειών, καθώς και τη νόσο του Huntington, μία νευροεκφυλιστική γενετική διαταραχή.
Για όλες τις τάξεις Λυκείου και Γ Γυμνασίου
Οδηγίες
Η εργασία από Μαθητές
Νόμος Benford
Ο νόμος του Benford είναι ένα σύνολο διαπιστώσεων σχετικά με τη συχνότητα εμφάνισης των πρώτων ψηφίων σε πολλές κατηγορίες αριθμών στη φύση. Ωστόσο, ο νόμος αυτός έχει εξελιχθεί όσον αφορά το πεδίο εφαρμογής του και έχει διαπιστωθεί ότι διέπει και τα δεύτερα, τρίτα κλπ. ψηφία ενός αριθμού. Τα χαρακτηριστικά αυτά ουσιαστικά τον καθιστούν, παρ’ όλες τις διάφορες εξαιρέσεις, ένα μέσο ελέγχου της «αλήθειας» ενός αριθμού, δηλαδή κατά πόσο ο αριθμός αυτός μπορεί να υφίσταται στην πραγματικότητα. Η παραπάνω διαπίστωση έχει καταστήσει τον νόμο του Benford ένα αξιόπιστο εργαλείο ελέγχου της εγκυρότητας αριθμητικών δεδομένων σε πολλές κατηγορίες της καθημερινότητας (από οικονομικά δεδομένα έως εκλογικά αποτελέσματα).
Τα στατιστικά εργαλεία (διαγράμματα, αναμενόμενη τιμή κλπ), δεν είναι αρκετά να καθορίσουν
αν μια ακολουθία είναι τελικά Benford. Παρ' όλα αυτά δίνουμε ένα τεστ επάρκειας με συντελεστή
εμπιστοσύνης 95%.
Για όλες τις τάξεις του Λυκείου και Γ Γυμνασίου
Οδηγίες
Η εργασία (τελευταία ανανέωση 29/7/2024)
Εργασίες από μαθητές
3) Εργασία Ο. Καγκαρά et alii in Journal of Mathematics and Statistical Science
Πλακοστρώσεις - morenaments
H εργασία σε πρώτο βήμα θέλει να εξοικειώσει τον μαθητή ώστε:
Επικάλυψη (ή πλακόστρωση ή tessellation ή tilling), κανονικά πολύγωνα.
Σκοπός/Αποτελέσματα/Ενότητα
Σκοπός
-
(Γνώση) Nα διατυπώνουν ισχυρισμούς (στη προκειμένη περίπτωση, σχετικά με το ποια κανονικά πολύγωνα μπορούν να δημιουργήσουν επικάλυψη μιας επιφάνειας).
-
(Ανάλυση/Σύνθεση) Να οργανώνουν και να συνθέτουν αναφορές σχετικά με επιστημονικά αντικείμενα που δεν είναι στο αναλυτικό τους πρόγραμμα.
-
(Εφαρμογή) Να χρησιμοποιούν σύγχρονα εργαλεία λογισμικού ώστε να μοντελοποιούν προβλήματα.
-
(Ανάλυση) Να αναγνωρίζει κρυφές ιδιότητες αντικειμένων.
Αποτελέσματα
Στο τέλος ο μαθητής θα πρέπει:
-
(Εφαρμογή) να αποκτήσει την ικανότητα να χρησιμοποιεί το λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Geogebra στο σχεδιασμό και τη μοντελοποίηση καταστάσεων,
-
(Εφαρμογή) να σχεδιάζει και να πραγματοποιεί εμπειρικές διαδικασίες ώστε να διατυπώνει ισχυρισμούς,
-
(Κατανόηση) να διακρίνει και να προσδιορίζει την διαφορετικότητα των προβλημάτων που σχετίζονται με την επικάλυψη επιφανειών όταν αλλάζουν τα δεδομένα (πχ υπερβολικό επίπεδο, σχήμα πλακιδίου κλπ).
Ενότητα Από Γεωμετρία Β Γυμνασίου: Κανονικά πολύγωνα. Από Γεωμετρία Α Λυκείου: άθροισμα γωνιών τριγώνου και πολυγώνου, Συμμετρία.
Η οδηγός ερώτηση:
Ποια είναι τα πιθανά σχήματα ενός πλακιδίου έτσι ώστε να παραχθεί 1) μια διαίρεση του επιπέδου, 2) το πλακίδιο να γεμίσει το επίπεδο με ανάλογες εικόνες του και 3) το κάθε πλακίδιο να περιβάλλεται από τον ίδιο τον εαυτό του? Ποιο είναι το στοιχειώδες μοτίβο επανάληψης σε μιας επικάλυψης?
Αρχεία Geogebra
1) tes1.ggb
2) tes2.ggb
Για όλες τις τάξεις του Λυκείου
Επεκτάσεις
Tessellations, pavages (ανανεώνεται συνεχώς)
