Δύο Θεωρήματα από το Principia του Newton
Το πρόβλημα της μελέτης της βαρυτικής αλληλεπίδρασης μεταξύ πλανητών δεδομένης μάζας απασχόλησε για 20 χρόνια τον Newton. Διαισθητικά πίστευε ότι ένας πλανήτης αλληλεπιδρά με τους άλλους σαν να έχει όλη τη μάζα του σε ένα σημείο. Ωστόσο η διαίσθηση δεν σημαίνει γνώση. Έπρεπε να δώσει μια απόδειξη έτσι ώστε να αποκτήσει επιστημονική αξία. Στο σχολείο, μαθαίνουμε ότι η βαρύτητα είναι το γινόμενο δύο μαζών επί τη σταθερά της βαρύτητας διαιρούμενο με το τετράγωνο της απόστασης.
Θα θεωρήσουμε έναν πλανήτη σαν μια ομογενή σφαίρα δηλαδή η πυκνότητα είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη σε ολόκληρη την επιφάνεια της σφαίρας. Eυτυχώς είναι μια κατάσταση που ικανοποιούν όλοι οι πλανήτες και πολλά άλλα αντικείμενα. Ένας πλανήτης μπορεί να θεωρηθεί ότι καλύπτεται από απείρως λεπτά κελύφη ή φλοιούς, από το εξωτερικό προς το εσωτερικό, όπου το κέντρο του καθενός βρίσκεται στο κέντρο του πλανήτη και και σε κάθε κέλυφος επικρατεί περίπου η ίδια πυκνότητα. Ένα κέλυφος είναι μια κούφια σφαίρα, όπως ακριβώς μια μπάλα.
O Newton έδωσε για το πρόβλημα δύο θεωρήματα: το XXX (70) που λέει ότι η βαρυτική δύναμη που ασκείται από το κέλυφος (shell) ενός πλανήτη μάζας Μ, σε ένα σώμα που βρίσκεται στο εσωτερικό του κέλυφους είναι 0, και το XXXI (71) που βεβαιώνει ότι αν ένα σώμα βρίσκεται στο εξωτερικό του κέλυφους η βαρυτική δύναμη που ασκείται από το κέλυφος πάνω στο σώμα είναι η ίδια σαν όλη η μάζα του να ήταν στο κέντρο.
Οι Βαγγελάτος, Μαΐστρος και Πόθος, έδωσαν την απόδειξη των 2 αυτών "καταπληκτικών" θεωρημάτων με Διαφορικό Λογισμό.
Το άρθρο των: Βαγγελάτος Θ., Μαΐστρος Π. και Πόθος Α. από τα euromath 2021.
To Θεώρημα Gou-Gu
To Jiu Zhang Suan Shu παρουσιάζει μια σειρά προβλημάτων (264 τον αριθμό) σε μορφή ερωτήσεων - απαντήσεων. Τα πρώτα 8 κεφάλαια αφορούν προβλήματα, τοπογραφίας, εμπορικά, φορολογικοί συντελεστές κλπ. Το τελευταίο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στο πιο διάσημο πρόβλημα: το θεώρημα Gou-Gu ή το γνωστό μας Θεώρημα του Πυθαγόρα.
Μια απόδειξη του Fourier
To 2023 παρουσιάστηκε μια απόδειξη του Fourier σχετικά με την αρρητότητα του υπερβατικού αριθμού e που δεν ήταν γνωστή η ύπαρξή της μέχρι τότε. Η πρώτη προσέγγιση από τον Fourier φαίνεται ότι έγινε στις 25 Δεκεμβρίου του 1795. Η απόδειξη βρέθηκε σε κάποιες σημειώσεις του Janot de Stainville μαθητή της Ecole Polytechnique. Σύμφωνα με μια παράγραφο του κειμένου o Stainville αναφέρει ότι την απόδειξη αυτή του την έδωσε ο Louis Poinsot μαθητής τότε της ‘Ecole Polytechnique που παρακολούθησε τα μαθήματα του Fourier. Ο Fourier ήταν καθηγητής στη Σχολή από το 1809 έως το 1811.
Το πρόβλημα της τροχαλίας του De l' Hopital
Το 1691 ο Johan Bernoulli, μαθητής του Leibnitz, πέρασε κάμποσους μήνες στο Παρίσι δίνοντας μαθήματα στον μαρκήσιο De l' Hopital πάνω στον νέο κλάδο των μαθηματικών, τον Διαφορικό Λογισμό.
O Bernoulli όχι μόνο έδωσε μαθήματα στον Guillaume-Francois-Antoine De l' Hopital για έναν μισθό αλλά στο τέλος του επέτρεψε να δημοσιεύσει ελεύθερα ο ίδιος τα αποτελέσματα της έρευνας του. Το 1696, ο De l' Hopital δημοσίευσε το βιβλίο "Calculi infinitesimalis pars I, seu calculus differentialis". Στη σελίδα 61 βρίσκεται η αρχική λατινική διατύπωση του προβλήματος του βάρους, που σήμερα αναφέρεται ως Πρόβλημα βάρους της τροχαλίας του De l' Hopital. Το πρόβλημα αυτό είναι το πιο ενδιαφέρον πρόβλημα του Calculi. Όπως θα δούμε σε λίγο, το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος καταλήγει στην εύρεση την μέγιστης τιμής μιας συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα. Το πρόβλημα έχει υπολογιστικές δυσκολίες και σήμερα μπορούμε να δώσουμε και άλλες λύσεις.
Η λύση του προβλήματος της τροχαλίας.
Mια διαφορετική λύση μπορείτε να βρείτε στο Nahin, Paul J.: When Least Is Best, Princeton Univ. Press. 2017, σελίδα 171.
Η Βραχυστόχρονη Καμπύλη
To πρόβλημα: Ποιο σχήμα πρέπει να έχουν οι τσουλίθρες έτσι ώστε ο χρόνος κατάβασης να είναι ο ελάχιστος δυνατός;
Η λύση του προβλήματος εξαρτάται από μια σειρά παραμέτρων. Δεν θα λύσουμε το πρόβλημα εδώ. Θα περιοριστούμε στη θεωρία που απλοποιεί αρκετά τη κατάσταση ώστε να λύνετε το πρόβλημα ... με τις γνώσεις μας.
Το πρόβλημα όπως το διατύπωσε ο Jean Bernoulli στο Acta Eruditorum το 1696 στην Leipzig, έχει ως εξής:
Datis in plano verticali duobus punctis A & B, assignare Mobili M viam AMB, per quam gravitate sua descenden, & moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore perveniat ad alterum punctum B.
Με άλλα λόγια:
Δοθέντων δύο σημείων Α και Β σε ένα κάθετο επίπεδο, ποια θα είναι η καμπύλη που θα διαγράψει ένα σημειακό αντικείμενο Μ κινούμενο μόνο με τη βοήθεια της βαρύτητας (χωρίς τριβές), από το Α στο Β έτσι ώστε ο χρόνος να είναι ο μικρότερος δυνατός?
Από Jean Bernoulli, Opera Omnia T.1,σελ. 161
Στο αρχικό κείμενο η φράση brevissimo tempore μεταφράστηκε με το ελληνικό βραχύς + χρόνος = βραχυστόχρονη (brachistochrone).
Είναι κοινή αίσθηση ότι ο συντομότερος δρόμος (η ευθεία) μεταξύ Α και Β θα είναι και ο γρηγορότερος! Δεν είναι όμως έτσι! Είναι αναγκαίο λοιπόν να βρούμε "όλες" τις καμπύλες που ενώνουν τα σημεία Α και Β και να συγκρίνουμε τους χρόνους που το σημειακό αντικείμενο θα τις διανύσει. Στο παρακάτω video από το YouTube βλέπετε ένα τέτοιο πείραμα.
Το πρόβλημα μοιάζει εύκολο στην αρχή αλλά γρήγορα γίνεται προκλητικό. Για παράδειγμα οι δοκιμασμένοι τρόποι να προσεγγίσουμε το πρόβλημα, λιγότερο ή περισσότερο, έχουν γίνει απαρχές για νέες θεωρίες. Η μαθηματική απόδειξη εμπλέκει τo Λογισμό Μεταβολών, μια θεωρία που θεμελιώθηκε από τον Lagrange και Euler. Η απόδειξη του Bernoulli είναι ανάλογη του Νόμου της Διάθλασης στην Οπτική. Μια παρόμοια αναλογία μεταξύ Οπτικής και Μηχανικής εφάρμοσε ο Hamilton την Αρχή Ελαχίστης Δράσης στη Μηχανική: "Η τροχιά που θα διαγράψει ένα σημειακό αντικείμενο θα είναι εκείνη για την οποία μια ορισμένη ποσότητα θα γίνει ελάχιστη". Ο Maupertuis την απέδιδε την Αρχή αυτή στους Νόμους της Οπτικής. Οι de Broglie και Schrödinger προτείναν μια αντίστοιχη ιδέα για τη Κυματική Μηχανική σαν ανάλογο της Κυματικής Οπτικής.
Για όλες τις τάξεις του Λυκείου και Γ Γυμνασίου
Οδηγίες
