Home | maths +

Μαθηματική Λογική

Λογική είναι η μελέτη των πληροφοριών που κωδικοποιούνται στη μορφή λογικών προτάσεων. Σήμερα χρησιμοποιούμε τη Λογική στην αυτοματοποιημένη συλλογιστική για να ελέγξουμε επιχειρήματα και να αυτοματοποιήσουμε μαθηματικές αποδείξεις. Χρησιμοποιούμε επίσης τη Λογική για να κατασκευάσουμε εργαλεία όπως το λογισμικό ηλεκτρονικών υπολογιστών και τα ηλεκτρονικά δίκτυα καθώς και στην υποστηρίξη συστημάτων βάσεων δεδομένων.

Η Μαθηματική Λογική είναι κλάδος των μαθηματικών ο οποίος δε μοντελοποιεί τα μαθηματικά αλλά (μοντελοποιεί) αυτό που κάνουμε όταν κάνουμε μαθηματικά. Με άλλα λόγια πρόκειται για τη χρήση μιας γλώσσας και της συλλογιστικής για το τί κάνουμε όταν κάνουμε μαθηματικά. Για τη γλώσσα, αυτό που μοντελοποιείται είναι αυτό που μας επιτρέπει να λέμε για τη δράση μας πάνω στα μαθηματικά αντικείμενα και όχι αυτό που αφορά τη μαθηματική δραστηριότητα αυτή καθ' αυτή. Εν πάση περιπτώσει δεν θα μας πει ποτέ η Λογική πως θα λύσουμε την εικασία του Poincare γιατί απλά δεν το ξέρει.

Χάρη στην αποδεικτική δυνότητα του Gödel και στην ικανότητα του Turing η ανθρωπότητα όρισε το τι είναι Μηχανή και δημιούργησε τον ηλεκτρονικό υπολογιστή, μια μηχανή η οποία μπορεί να εκτελέσει πολλές εργασίες και όχι μια μόνο! Σημαντικότατη είναι η επίδραση της Λογικής στην επιστήμη των υπολογιστών και στη τεχνητή ευφυία που βοήθησε στην ανάπτυξη της λογικής τεχνολογίας ιδίως μετά το 1960.

Σήμερα, η προοπτική του αυτόματου συμπερασμού, (automated reasoning), έχει μετακινηθεί από τη σφαίρα της θεωρίας σε εκείνη της πρακτικής, με τη δημιουργία αυτοματοποιημένων συστημάτων αποδείξεων, όπως το Coq, Isabella, Vampire, Prolog Technology Prover, και άλλα.

Η εμφάνιση αυτής της τεχνολογίας οδήγησε στην εφαρμογή λογικής τεχνολογίας σε μια ευρεία ποικιλία τομέων.

Μαθηματικά: Αυτοματοποιημένα προγράμματα συλλογιστικής μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον έλεγχο των αποδείξεων και, σε ορισμένες περιπτώσεις, για την προσκόμιση αποδεικτικών στοιχείων ή τμημάτων αποδείξεων. Χαρακτηριστικό παράδειγμα ο έλεγχος στην απόδειξη του προβλήματος των 4 χρωμάτων και του θωρήματος των πεπερασμένων ομάδων περιττής τάξης των Fiet-Thompson.

Συστήματα Βάσεων Δεδομένων: Με το σχεδιασμό ενός πινάκα βάσεων δεδομένων σαν σύνολο απλών προτάσεων, είναι δυνατή η χρήση της Λογικής στην υποστήριξη συστημάτων βάσεων δεδομένων. Για παράδειγμα, η γλώσσα της Λογικής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορίσει εικονική προοπτική των δεδομένων σε όρους αποθηκευμένων πινάκων και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κωδικοποίηση των περιορισμών στις βάσεις δεδομένων. Οι τεχνικές αυτόματου συμπερασμού μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό νέων πινάκων και την ανίχνευση προβλημάτων.

Μηχανική: Οι μηχανικοί μπορούν να χρησιμοποιήσουν τη γλώσσα της λογικής για να κωδικοποιήσουν τα σχέδιά τους. Τα εργαλεία αυτόματου συμπερασμού μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την προσομοίωση σχεδίων και σε ορισμένες περιπτώσεις να επικυρώσουν ότι αυτά τα σχέδια πληρούν τις προδιαγραφές. Τέτοια εργαλεία μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για τη διάγνωση αποτυχιών και την ανάπτυξη προγραμμάτων δοκιμών.

Ενσωμάτωση δεδομένων: Η γλώσσα της Λογικής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη συσχέτιση του λεξιλογίου και της δομής των διαφορετικών πηγών δεδομένων. Ο αυτόματος συμπερασμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ενσωμάτωση των δεδομένων σε αυτές τις πηγές.

Για όλες τις τάξεις Λυκείου και Γ Γυμνασίου

Οδηγίες

Βιβλιογραφία:

Behrends Ehrhard: Μαθηματικά Πεντάλεπτα. Εκδ. Παν. Κρήτης, 2020

Λογική των Μαθηματικών, σελίδα 39. (διευκρινήσεις πάνω σε κάποιους λογικούς συσχετισμούς)

Η εργασία

Εργασίες από μαθητές:

Λογική (Γιασαφάκης Μ. 2017)

Άλγεβρα Boole από Θαλής και Φίλοι

Kurt Gödel από Θαλής και Φίλοι

Η Θεωρία Συνόλων και το Άπειρο

Η Θεωρία Συνόλων είναι κλάδος της Μαθηματικής Λογικής που μελετά συλλογές μαθηματικών αντικειμένων. Εισηγητής της θεωρίας είναι ο G. Cantor το 1870-1874. Στα σύγχρονα μαθηματικά κατέχει την θέση της πρωταρχικής συνταγής σε αρκετούς τομείς.

Και η αιτία είναι απλή είναι σημαντικό να έχουμε συγκεντρώσει πολλές φορές ετερόκλητα στοιχεία σε μια ολότητα και να τα χρησιμοποιούμε όπως εμείς θέλουμε. Η μαθηματική Ανάλυση είναι ένας από τους κλάδους που οφείλει την ανάπτυξή της και στη Θεωρία Συνόλων.

Δεν θα δούμε εκτενέστερα ποια μορφή έχει σήμερα η Θεωρία Συνόλων αλλά θα προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε κάποιες αντιφάσεις που διατυπώθηκαν στο παρελθόν, για παράδειγμα τα παράδοξα του Russell.

Όπως συμβαίνει σε όλες τις θεμελιώσεις τομέων της μαθηματικής επιστήμης, έτσι και η τυποποίηση της θεωρίας Συνόλων είναι αρκετά λεπτή και έχει εξελιχθεί διαμέσου της ιστορίας και της επίλυσης δύσκολων προβλημάτων, όπως η Υπόθεση της Συνέχειας για παράδειγμα.

Ένα άλλο θέμα που θα προσεγγίσουμε εδώ είναι η έννοια του Απείρου.

Οι αριθμοί έχουν βαθύτερη σημασία πέρα από τη συμβολική τους αναπαράσταση. Έχουν εγγενή αξία και χρησιμεύουν ως θεμελιώδεις μονάδες μέτρησης και αναπαράστασης. Στην αρχαιότητα, οι άνθρωποι χρησιμοποιούσαν πέτρες για να αναπαραστήσουν τον αριθμό 1, χρησιμοποιώντας τις για πρακτικούς σκοπούς όπως το μέτρημα των προβάτων. Οι αριθμοί συνεχίζουν να παίζουν καθοριστικό ρόλο στη ζωή μας, από την παρακολούθηση του χρόνου μέχρι τη μέτρηση των ποσοτήτων. Έχουν επίσης αφηρημένες και φιλοσοφικές διαστάσεις, που προκαλούν την κατανόησή μας και επιτρέπουν την εξερεύνηση στα μαθηματικά, τη μουσική, την τέχνη και την επιστήμη. Η κατανόηση της σημασίας των αριθμών μάς επιτρέπει να ξεκλειδώνουμε το βαθύ νόημα και τη δύναμή τους, παρέχοντας ένα ευέλικτο σύνολο εργαλείων για την πλοήγηση στην πολυπλοκότητα του κόσμου και την εξερεύνηση άπειρων πιθανοτήτων.

Το άπειρο είναι μια έννοια που έχει συναρπάσει φιλοσόφους, μαθηματικούς και επιστήμονες για αιώνες. Αντιπροσωπεύει μια απεριόριστη ποσότητα που δεν μπορεί να συλληφθεί ή να κατανοηθεί πλήρως. Ενώ το άπειρο συνδέεται συχνά με αριθμούς και μαθηματικές πράξεις, εκτείνεται πέρα από απλές αριθμητικές τιμές και έχει βαθιές επιπτώσεις σε διάφορους τομείς μελέτης