To Θεώρημα του Σταθερού Σημείου (fix point) του Brouwer

​

​

Αν μετακινήσουμε έναν χάρτη κατάτι χωρίς να τον κόψουμε, η συνάρτηση που θα

περιγράψει αυτή τη μετακίνηση είναι συνεχής. Διαισθητικά αυτό σημαίνει ότι αν δύο

σημεία βρίσκονται κοντά στον αρχικό χάρτη, τότε τα σημεία αυτά θα είναι εξ' ίσου κοντά

στο χάρτη μετά την μετακίνηση.

​

Όταν ο παραμορφωμένος χάρτης τοποθετηθεί πάνω από τον αρχικό χάρτη, χωρίς να τον

υπερβαίνει, τότε υπάρχει πάντα τουλάχιστον ένα σημείο του παραμορφωμένου χάρτη

που είναι ακριβώς πάνω από το ίδιο σημείο στον κάτω χάρτη. Αυτό το αποτέλεσμα

είναι ένα παράδειγμα εφαρμογής του Θεωρήματος Σταθερού Σημείου του Luitzen

Egbertus Jan Brouwer, το οποίο έχει πολλές εφαρμογές σε διάφορα πεδία.

 

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει ένα αποτέλεσμα

πάνω στη θεωρία πινάκων (το θεώρημα Perron-Frobenius) που βρίσκεται στην καρδιά του αλγορίθμου Pagerank που

χρησιμοποιεί η Google. Είναι επίσης χρήσιμο για να αποδείξετε το θεώρημα του Jordan, ένα θεμελιώδες τοπολογικό

αποτέλεσμα, του οποίου το συμπέρασμα φαίνεται τόσο προφανές που μπορεί κανείς αναρωτιέται τι υπάρχει να αποδείξει.

Στην αφελή του διατύπωση, το θεώρημα του Jordan λέει ότι μια απλή κλειστή καμπύλη στο επίπεδο το

χωρίζει σε δύο μέρη των οποίων αυτή η καμπύλη είναι το όριο, και ότι ένα από αυτά τα μέρη είναι οριοθετημένο

και το άλλο όχι. Το προφανές αποτέλεσμα δεν επιτρέπει την εύκολη απόδειξη του θεωρήματος.

Γενικεύοντας το αποτέλεσμα του Brouwer, ο Kakutani απέκτησε το θεώρημα σταθερό σημείο που φέρει το

όνομά του, και του οποίου ο John Forbes Nash Jr έχει χρησιμοποιήσει για τη δουλειά του σε αυτό που είναι

γνωστό ως τώρα ισορροπία Nash.

Θυμηθείτε ότι ο Nash έλαβε το Νόμπελ Οικονομικών το 1994, είναι ο μαθηματικός του οποίου η βιογραφία 

προσαρμόστηκε για την παραγωγή της ταινίας Νash a beautiful mind. 

​

Το θεώρημα Hairy ball

​

Αυτό το θεώρημα έχει εκφραστεί από τους μαθηματικούς (το άκουσα για πρώτη φορά από τον J. Milnor το 1990 περίπου, στο Παρίσι)

ως κάτι  που ακολουθεί τις ακόλουθες γραμμές:

 «Δεν μπορείς να χτενίσεις μια τριχωτή μπάλα».

Δηλαδή, πάντα θα μένει μια τρίχα θα παραμένει όρθια.

​

​

​

​

​

​

​

​

 

Διαισθητικά (πρόκειται για μια περιγραφή του Benoît Rittau 1994), μπορούμε να φανταστούμε μια σφαίρα (=κεφάλι - όχι το δικό μου είμαι

φαλακρός) καλυμμένη με μαλλιά  (όχι σγουρά), με κάθε σημείο της σφαίρας να είναι η ρίζα μιας τρίχας. Θεωρούμε την προβολή της τρίχας

σε επίπεδο εφαπτόμενο στη σφαίρα στο σημείο που είναι η ρίζα κάθε τρίχας: όλες αυτές οι προβολές δίνουν μια καλή ιδέα ενός πεδίου εφαπτόμενων διανυσμάτων στη σφαίρα. Στη συνέχεια προσπαθούμε να φορμάρουμε αυτά τα μαλλιά ισιώνοντάς τα στην επιφάνεια της

μπάλας και αποφεύγοντας τις ασυνέχειες: δεν κάνουμε χωρίστρα, δεν αφήνουμε τα μαλλιά να αλλάξουν ξαφνικά κατεύθυνση μεταξύ τους. 

Το θεώρημα λέει ότι είναι αδύνατο να φτάσουμε σε αυτό το αποτέλεσμα. Ό,τι και να κάνουμε, θα προκαλέσουμε το σχηματισμό

τουλάχιστον μιας ακίδας, δηλαδή ενός σημείου που θα σηκωθεί μια τρίχα. 

​

Στην πραγματικότητα, αυτό αποδείχθηκε από τον θρυλικό μαθηματικό Henri Poincaré το 1885 και αργότερα γενικεύτηκε.

Γιατί μας ενδιαφέρουν καταρχήν οι τριχωτές μπάλες;

​

Πριν σας δώσουμε κάποια ιδέα για τη πολυμορφία του, ας διατυπώσουμε το θεώρημα μαθηματικά.

 

Θεώρημα τριχωτής μπάλας (Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1912)

Δεν υπάρχει συνεχής εφαπτόμενος διανυσματικός χώρος που να μην εξαφανίζεται σε μια σφαίρα 2n διαστάσεων.

​

Εδώ το n αναφέρεται σε έναν φυσικό αριθμό, το 2n μπορεί να είναι οποιοσδήποτε θετικός ζυγός αριθμός. Με άλλα λόγια λέει ότι, με

δεδομένο ένα τέτοιο συνεχές εφαπτόμενο διανυσματικό χώρο σε μια σφαίρα άρτιων διαστάσεων, θα υπάρχει πάντα τουλάχιστον

ένα μηδενικό διάνυσμα. 

Τι είναι όμως ένας συνεχής εφαπτόμενος διανυσματικός χώρος;

​

Ένας διανυσματικός χώρος είναι απλώς μια συνάρτηση που αντιστοιχεί ένα διάνυσμα σε κάθε σημείο ενός υποσυνόλου του

n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου. Μπορείτε να δείτε τον n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο ως το συνηθισμένο σύστημα συντεταγμένων

στο οποίο κάθε σημείο έχει n πραγματικούς αριθμούς ως συντεταγμένες.

​

Το ότι είναι εφαπτόμενα διανύσματα σημαίνει χονδρικά ότι βρίσκονται πάνω σε εφαπτόμενα πεδία της επιφάνειας. Το ότι η

συνάρτηση που τα εκχωρεί είναι συνεχής σημαίνει ότι «μικρές» αποστάσεις μεταξύ δύο σημείων θα συνεπάγονται «μικρές»

αποστάσεις μεταξύ των διανυσμάτων που συνδέονται  με τα σημεία.  

​

Επίσης,  αν σε μια επιφάνεια, μπορούμε να αντιστοιχίσουμε μια ροή (κατεύθυνση σαν διάνυσμα) σε κάθε σημείο, όπως η ροή ρευστού

για παράδειγμα,  μπορούμε να δούμε τα διανύσματα ότι μας δίνουν έναν τρόπο να ορίσουμε πόσο γρήγορα και προς ποια κατεύθυνση

κινείται το ρευστό σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο.

Φανταστείτε ότι υπάρχει μια τέτοια ροή σε μια δισδιάστατη σφαίρα. Τότε αυτό το θεώρημα λέει ότι πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον

ένα σημείο στη σφαίρα όπου η ροή είναι μηδέν, δηλαδή ή ροή έχει μηδενική ταχύτητα.  Δεδομένου ότι ο αέρας μπορεί φυσικά να

θεωρηθεί σαν ρευστό, αυτό ισχύει και για τον αέρα στην επιφάνεια της Γης. Αλλά αν υπάρχει κάποιο παράλληλο σύμπαν στο οποίο

υπάρχουν 5-διάστατοι πλανήτες με 4-διάστατες σφαίρες ως επιφάνειες για παράδειγμα, τότε αυτό ισχύει και για αυτούς.

Αυτή είναι η πραγματική δύναμη των μαθηματικών! Μέσω της γενίκευσης και της αφαίρεσης αποκτούμε γνώση ακόμη και για τα

πιο ακατανόητα πράγματα. 

​

Ωστόσο το θεώρημα δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην περίπτωση του λουκουμά, εξ αιτίας της 

διαφορετικής γεωμετρικής και τοπολογικής δομής έναντι της σφάιρας. Αυτός είναι ένα λόγος 

που μπορούμε να εξασφαλίσουμε για παράδειγμα μια σταθερή ροή αέρα σε έναν διαστημικό

σταθμό σε σχήμα λουκουμά! 

Αυτό θέτει το ερώτημα: για τι είδους σχήματα ισχύει το θεώρημα και ποια είναι τα κριτήρια;

Σας ενθαρρύνω να προσπαθήσετε να το καταλάβετε μόνοι σας, καθώς είναι αρκετά μεγάλη

ιστορία, αλλά μπορώ να σας πω ότι το καθοριστικό χαρακτηριστικό είναι η χαρακτηριστική Euler του σχήματος.

 

Αυτό το θεώρημα έχει πολλές εφαρμογές στη φυσική, τα γραφικά υπολογιστών και τη μηχανική που δεν αφορούν φυσικά τις τριχωτές

μπάλες ή τον άνεμο. Σας ενθαρρύνω να το αναζητήσετε μόνοι σας όταν έχετε λίγο χρόνο.

 

Το θεώρημα Borsuk-Ulam

 

Είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα και εκπληκτικά θεωρήματα στα μαθηματικά.

 

Ποιος θα το φανταζόταν ότι υπάρχουν πάντα δύο αντίθετα ή αντιδιαμετρικά (όπως ονομάζονται στα μαθηματικά) σημεία στον ισημερινό

της Γης που έχουν την ίδια ακριβώς θερμοκρασία;

 

Είναι ένα από τα κορυφαία κοσμήματα της αλγεβρικής τοπολογίας και όπως το θεώρημα της τριχωτής μπάλας και το θεώρημα

σταθερού σημείου Brouwer.

 

Θεώρημα Borsuk-Ulam

Κάθε συνεχής συνάρτηση από μια n-σφαίρα στον Ευκλείδειο n-χώρο αντιστοιχίζει ένα ζεύγος αντιδιαμετρικών σημείων στο

ίδιο σημείο.

 

Είναι ενδιαφέρον να σκεφτούμε ότι μπορούμε να το αποδείξουμε αυτό χωρίς να γνωρίζουμε πώς να βρούμε τέτοια «ισοδύναμα»

σημεία κάτω από την εν λόγω συνάρτηση, ωστόσο υπάρχουν τεχνικές για την εύρεση τέτοιων σημείων στις μέρες μας.

​

​

​

Σύντομη ιστορική παρένθεση

 

•  Ο Luitzen Egbertus Jan Brouwer είναι ένας σπουδαίος ολανδός μαθηματικός των αρχών του 20ου αιώνα.

Πραγματοποίησε πολύ λαμπρές και πολύ γρήγορες σπουδές δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. 
Ο Brouwer είναι η αιχμή του δόρατος, με τον Poincaré, των διαισθητικών μαθηματικών

(intuitionistic maths), σε αντίθεση με τον λογικισμό των Russel και Frege και τον φορμαλισμό του

Hilbert. 

Ειδικότερα, για τον Brouwer, τα θεωρήματα ύπαρξης μπορεί να είναι αληθή μόνο εάν μπορεί κανείς

να παρουσιάσει μια διαδικασία, έστω και τυπική, της κατασκευής.

Αυτό τον οδηγεί ιδιαίτερα στην απόρριψη του νόμου του αποκλεισμένου μέσου, που λέει ότι μια

ιδιότητα είτε είναι αληθής είτε ψευδής!

Οι αποδείξεις που λαμβάνονται με αυτόν τον τρόπο είναι συχνά μεγαλύτερες, αλλά ο Brouwer ήταν 

ικανός να ξαναγράψει πραγματείες από τη θεωρία συνόλων, τη θεωρία μέτρου και τη θεωρία

συναρτήσεων με τους κανόνες των διαισθητικών μαθηματικών.

​

• Για την απόδειξη του Θεωρήματος του Brouwer χρησιμοποιούμε ένα πάρα πολύ

διασκεδαστικό Λήμμα. Το Λήμμα αυτό 1905-1980. οφείλεται στον μαθηματικό Emanuel

Sperner. 
Ο Emanuel Sperner ήταν μαθηματικός από την Πολωνία και γεννήθηκε στη πόλη Waltdorf

κοντά στη Neisse. 

Ο Sperner σπούδασε στο Carolinum Gymnasium της Neisse και μπήκε στο Πανεπιστήμιο

του Fribourg το 1925. Τότε οι φοιτητές πήγαιναν σε πολλά πανεπιστήμια και μετά 

δύο εξάμηνα, ο Sperner εγγράφηκε στο Πανεπιστήμιο του Αμβούργου.
Έλαβε το διδακτορικό του εκεί το 1928. Ήταν στη διατριβή του που παρουσίασε το

σημαντικό αποτέλεσμα που τώρα ονομάζεται Λήμμα του Sperner.

To Λήμμα αυτό λέει ότι αν έχουμε ένα τρίγωνο με τρία διαφορετικά χρώματα στις κορυφές, τότε κάθε χρωματισμένη 

τριγωνοποίηση, όπως αυτή στο σχήμα, περιέχει ένα τουλάχιστον τρίχρωμο τρίγωνο (ένα μικρό τρίγωνο που έχει στις 

κορυφές του τρία διαφορετικά χρώματα).  Την απόδειξη θα τη δούμε στο 2ο επισυναπτόμενο pdf αρχείο.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Για τη Β ή Γ Λυκείου.

​

1) Κωνσταντίνος Δασκαλάκης (Βαρβάκειο 2007)

​

 2) To Θεώρημα του Σταθερού Σημείου  και  Λήμμα του Sperner. 

​

​

3) Πρακτικές Οδηγίες

​

​

​

​

​

​

​

 

​